De la notación musical a la notación matemática

Introducción histórica, la teoría de conjuntos en música

Después de Brahms, la tonalidad en la música occidental empezó a descomponerse. Mientras que antes los compositores se basaban en un tono y área específica alrededor del cual organizar las notas (por ejemplo, un concierto en Do Sostenido Menor), la idea de una estructura tonal de base había quedado trasnochada entrando en el siglo XX.

Los compositores necesitaron un nuevo sistema para organizar sus tonos. Arnold Schoenberg  encabezó el movimiento empezando a escribir música atonal en 1908. Hacia 1923 había desarrollado completamente un sistema de "12 tonos" bajo el cual el compositor organiza las 12 notas en una fila ordenada que somete a diversas manipulaciones para generar el contenido tonal de la composición. Este sistema es conocido como 'serialismo'. 

La Teoría Musical de Conjuntos no es lo mismo que el serialismo, pero ambas comparten muchos métodos e ideas. La Teoría de Conjuntos contempla la definición de conjuntos de notas y organiza la música alrededor de estos conjuntos y sus distintas manipulaciones. El análisis de las clases de estos conjuntos es el resultado de los esfuerzos de los teóricos de la música por revelar los sistemas que compositores como Schoenberg y sus seguidores usaron para organizar el contenido tonal en sus trabajos. Ten presente que los conjuntos y sus clases determinan únicamente el contenido tonal; los compositores continúan libres de modificar cualquier otro aspecto musical de acuerdo con sus deseos artísticos. 

En su día, Mozart, Haydn, y Beethoven fueron englobados colectivamente como "La Escuela Vienesa" de los compositores. Las ideas de Schoenberg sobre la música fueron tan poco ortodoxas y cambiaron tan radicalmente la faz de la historia de la música, que junto con dos de sus discípulos en Viena, Alban Berg y Anton Webern, son conocidos como "La Segunda Escuela Vienesa". 

 

Ejemplo práctico

La primera idea que surge es tomar una melodía, asignar una notación matemática para ella y de este modo llevarla al lenguaje de conjuntos y observar diferentes comportamientos y propiedades que pueda tener determinada obra, o tal vez, qué operaciones se pueden realizar con éste conjunto para formar un nuevo conjunto que me ofrezca una nueva melodía.

Los elementos que inicialmente tendremos en cuenta serán: el orden dentro de la partitura, la altura específica y la duración de cada nota musical, para lo cual organizaremos ternas ordenadas (a,b,c) que representan los elementos anteriormente mencionados respectivamente.

Construcción de los conjuntos

A continuación se va a proceder a construir los tres conjuntos que acabamos de definir en la terna, para ello se definen los siguientes conjuntos:

• Conjunto O que determinará el orden
• Conjunto A que determinará la altura
• Conjunto D que determinará la duración

Primeramente, el conjunto O vendrá dado por el número de elementos de que conste la terna, así:

Para construir el conjunto A, que determina la altura de la terna ordenada, se consideran las alturas específicas que roduce un piano, así DO1 es la nota más grave y DO8 la más aguda como muestra la siguiente tabla:

De este modo, le asignamos a cada altura específica un número natural como muestra la tabla anterior, luego tenemos que:

Del mismo modo, para el conjunto D que define la duración de la terna, se asigna a cada figura musical un número natural de este modo:

Así tenemos:

Luego podemos decir:

El conjunto M

Con esto es posible formar un gran conjunto, que sería el conjunto referencial, con todas las posibles combinaciones de ternas ordenadas. Se podría empezar con un referencial que involucre una cantidad no mayor de 500 notas, y así se obtendría un conjunto de 467.500 ternas para trabajar. Este conjunto se denomina conjunto referencial musical (M) para una cantidad n de notas.

Sean O, A y D los conjuntos determinados por la asignación de orden, alturay duración de una obra musical respectivamente, donde:

El conjunto M se define como:

M = O x A x D

Ejemplo

Tomaremos un fragmento de un compás de una melodía determinada, para describir cómo le asignamos una notación matemática. Tenemos por ejemplo el siguiente fragmento:

En la figura tenemos la parte inicial (primer compás) de una partitura, en este caso en 4/4 y con su armadura que nota la tonalidad de la melodía (ya se vió en apartados anteriores el sistema temperado), en este caso será Do mayor.

Se puede apreciar que existen dos notas diferentes, Mi y Re, cada una con una duración de corchea que serán dos ternas diferentes que vendrán definidas por (1,29,9) y (2,27,9). De este modo podemos establecer ternas diferentes para cada nota que se ha de interpretar en determinada obra musical.

De lo anterior se obtiene que para cada altura es posible asignar 11 duraciones diferentes, lo que da como resultado 935 combinaciones diferentes; ahora bien, la primera coordenada indica el orden de cada nota, lo cual nos permite conocer la cantidad de notas que se interpretan en alguna obra; teniendo en cuenta esto último podemos encontrar melodías a una sola voz de 250, 300 o más notas.

 

Algunas funciones frecuentes en la composición musical

Ya se han visto en un apartado anterior las técnicas de transformación más frecuentes a la hora de interpretar y de componer una obra musical; ahora se van a volver a ver algunas de ellas pero como funciones aplicadas a los conjuntos que se acaban de describir.

Función de transportar

Transportar hace referencia a la alteración de las frecuencias en un rango determinado, así la función de transportar que afecta a cada nota se producirá de modo tal que dicha nota tomará valores a una distanica no mayor de 11 unidades, así por ejemplo RE7 no puede convertirse en un RE6 o en RE8; así se define la función de transportar (T):

A continuación se ve un ejemplo gráfico de como afectaría esta función en un segmento de una obra:

Función de octavar

Cuando se habla de octavar una nota, se está haciendo referencia al hecho de duplicar la frecuencia de ésta, así la nota que se producirá es la misma pero con una mayor agudeza; por ejemplo la octava superior de MI4 es MI5 y la octava inferior es MI3. Así octavar una nota será sumar o restar 12 unidades a ésta, luego se define la función octavar (O) así:

A continuación se ve un ejemplo gráfico de como afectaría esta función en un segmento de una obra:

 

Función de inversión

La inversión es el cambio de posición de las ternas de P, es decir, que para un conjunto P de orden n se realiza la siguiente operación, la terna (1,b1,c1) pasará a tomar la posición n, la terna (2,b2,c2) tomará la posición n-1, la terna (3,b3,c3) tomará la posición n-2 y así sucesivamente hasta la terna (n,an,bn) que tomará la posición 1. Así, se define la función de inversión (I):

Conclusión

Con las funciones anteriormente mencionadas se pueden transformar melodías en otras nuevas y tener una herramienta para la composición de piezas musicales después de un proceso de selección adecuado de ternas ordenadas.

PROPOSICIÓN: La composición de las funciones T, O e I definidas sobre un conjunto P (conjunto definido a partir de la notación musical) es conmutativo. Es decir, sea t una terna ordenada de P, entonces: