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Instrumentos de Cuerda

> Introducción a los Instrumentos de Cuerda

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> Clasificación de los Instrumentos de Cuerda

Principios de funcionamiento de los Instrumentos de Cuerda

El mecanismo básico que produce el sonido en todos los instrumentos de cuerda es el mismo, la única diferencia es que para obtener la vibración, en algunos casos la cuerda se frota, mientras que en otros se pulsa, o por último se golpea.

Onda Transversal propagándose a través de la cuerda

En primera instancia se debe abandonar la idea de que la cuerda es inextensible. Se tiene una cuerda que en equilibrio tiene una densidad lineal de masa y está bajo la acción de una tensión cuya magnitud es F. En la siguiente figura A se ilustra un elemento de cuerda dx. Si se somete la cuerda a pequeñas elongaciones transversales (figura B), la tensión es prácticamente la misma tensión de equilibrio, de magnitud F. La sección izquierda del elemento está desplazada en y, la sección derecha en y + dy . Aquí dy es la deformación transversal del elemento de cuerda. Sin embargo debe mantenerse presente que el elemento dx se deformó en .

Aplicando la segunda ley de Newton al elemento de cuerda de longitud dx, y sabiendo que la aceleración de vibración de su centro de masa es , se obtiene, 

Las componentes horizontales de la tensión, se cancelan y se ha despreciado la fuerza de gravedad, ya que es muy pequeña en comparación con la tensión. Aplicando la ley de Hooke,

y por tanto se obtiene la ecuación de ondas,

donde las derivadas quedan evaluadas en x (el centro de masa se acerca al extremo izquierdo del elemento tanto como queramos).

Como demostraremos a continuación. la solución de esta ecuación de ondas representa una onda que se propaga a través de la cuerda con una velocidad V:

F se mide en N y  se mide en Kg.m^-1

Con esta expresión se calcula la velocidad de propagación de las ondas transversales en una cuerda para pequeñas elongaciones. Esta deducción coincide con lo obtenido en la ecuación diferencial de onda generalizada ya que para la cuerda .

Solución general de la ecuación de ondas

La solución general de la ecuación de ondas es de la forma (en lugar de llamar V, hemos llamado 'c' a la velocidad de propagación):

y = f(c∙t - x) + g(c∙t + x)

donde f(c∙t - x) y g(c∙t + x) son funciones arbitrarias cuyos argumentos son (c∙t - x) y (c∙t + x).

Si dibujamos la función f(c∙t - x) en el instante t = 0, obtenemos la curva y_o = f (-x), que podemos suponer tiene la forma de la siguiente figura (a). En un instante de tiempo tal que t = 1, la curva que representa será:

y = f(c - x) = f [-(x-c)]

Se observa en la figura b, a la función para t = 1, que es idéntica a la función para t = 0, excepto que cada valor particular del desplazamiento y, se presenta en x - c, y en x, por ejemplo, el desplazamiento y₁ en x₁ es el mismo que y_o en x_o si x₁ - c = x_o. Si escribimos esta igualdad de la forma x₁ = x_o + c, se demuestra que la curva tiene un cambio a una distancia c a la derecha después de un tiempo de un segundo. Por tanto, y = f(c∙t-x) representa una onda que se mueve hacia la derecha, en la dirección de las X positivas con la velocidad c. Análogamente se puede demostrar que y = g(c∙t + x) representa una onda que se mueve hacia la izquierda con velocidad c.

Debemos recordar que la forma de la onda correspondiente para cada una de las dos funciones arbitrarias permanece constante a lo largo de la cuerda. Esta conclusión no es completamente cierta en la práctica, ya que hemos hecho unas suposiciones para encontrar la ecuación de ondas que no se cumplen estrictamente en las cuerdas reales, ya que estas tienen espesor y existen fuerzas disipativas, lo que originará que las ondas que se propaguen presenten distorsión. Para cuerdas relativamente flexibles y con pequeño amortiguamiento, como en los instrumentos musicales, la distorsión es pequeña si la amplitud de las perturbaciones es también reducida; pero para amplitudes grandes el cambio de la forma de la onda puede ser pronunciado.

Condiciones iniciales y de frontera

En la práctica, las funciones f(c∙t - x) y g(c∙t + x) no son completamente arbitrarias, están limitadas por varios tipos de condiciones iniciales y frontera. Para las vibraciones libres de las cuerdas, la forma matemática para las condiciones iniciales es que, por ejemplo, los valores para t = 0 están determinados por el tipo y punto de aplicación de la fuerza de excitación que se aplica a la cuerda. En los instrumentos musicales las cuerdas pueden entrar en vibración principalmente por tres procedimientos, en primer lugar, pulsándolas como en el arpa, guitarra, laúd, etc.; en segundo lugar golpeándolas como en el piano, y en tercer lugar pueden ser friccionadas como en el violín, contrabajo, etc.

Además, estas funciones están limitadas por las condiciones frontera en los extremos de la cuerda. Las cuerdas reales tienen una longitud finita y están fijas de alguna forma en sus extremos. Si, por ejemplo, los soportes de la cuerda son rígidos, lo que es cierto para casi todas las cuerdas, la suma de las funciones f + g tiene un valor nulo en cualquier instante para los puntos extremos de la misma. El efecto más importante de este tipo de condición frontera es la necesidad de que el movimiento de la vibración libre de la cuerda sea periódico.

Ondas estacionarias en una cuerda con extremos fijos

A continuación se ilustra una cuerda atada en sus extremos (como una cuerda de guitarra). En este caso se dice que las fronteras de la cuerda son dos nodos.

Cuando se perturba la cuerda, por ejemplo en su extremo izquierdo, se genera una onda que se denomina la onda incidente,, la cual al reflejarse en el extremo derecho origina una segunda onda que se denomina reflejada, , que tiene la misma frecuencia y longitud de onda,

, 

Por lo tanto, la cuerda oscilará con una superposición de estas dos ondas:

Las condiciones de frontera son:

Aplicando la primera condición, ,

es decir, (valores más representativos). Si se toma el valor de , se obtiene, , lo cual no es posible puesto que ambas amplitudes deben ser positivas (amplitudes negativas no tienen interpretación física). Por lo tanto y , es decir,

es importante anotar que corresponde a una diferencia de fase entre la onda incidente y la reflejada en x=0 de,

En definitiva, la cuerda oscila con una superposición de dos ondas viajeras propagándose en sentidos opuestos pero con todos sus parámetros iguales (amplitud, número de onda, longitud de onda, frecuencia, período).

A continuación se ilustra este hecho, representando en color negro la onda total:

Como ya hemos visto, a este tipo de ondas se les denomina ondas estacionarias.

Nodos y Vientres:

En una onda estacionaria hay elementos del medio cuyos centros de masa se mantienen quietos en todo instante (nodos) y hay elementos del mismo cuyo centro de masa vibra en una posición denominada vientre en donde la pendiente es cero en todo instante de tiempo. Entre nodo y nodo o entre vientre y vientre consecutivos hay una separación de  por lo que la separación entre vientres y nodos consecutivos será .

Para mostrar lo dicho en el párrafo anterior, se debe tener en cuenta que en los nodos se deben cumplir que la velocidad de vibración en todo instante es nula ( ) y en los vientres la pendiente de debe ser nula en todo instante () .

Posición de los nodos:

,  es decir,  .

Posición de los vientres:

para el caso de la cuerda que ese está considerando, n= 1,2,3,...

Análogamente al caso de los nodos, se puede mostrar que la separación entre vientres consecutivos es igual a .

Aplicando la segunda condición de frontera a la ecuación, ,

aquí se deben desechar los valores negativos de n ya que corresponderían a números de onda k negativos y por ende como , a longitudes de onda negativas, lo que no tendría significado físico. También se debe desechar , puesto que correspondería a una longitud de onda infinita, lo que significaría que el medio no vibra (caso trivial en el que la cuerda no vibra). En definitiva se obtiene,

como y , se pueden escribir también relaciones equivalentes para las longitudes de onda y para las frecuencias,

De estas dos relaciones se concluye que:

• significa que la cuerda sujeta por sus extremos vibra formando una onda estacionaria, y en la longitud de la cuerda caben exactamente un número entero de semilongitudes de onda: .
• La cuerda tiene una colección de frecuencias a las cuales podrá vibrar como onda estacionaria. A estas frecuencias se les denomina frecuencias propias o frecuencias naturales . A la frecuencia más baja, se le denomina frecuencia del primer armónico o frecuencia fundamental. A la segunda frecuencia , se le denomina frecuencia del segundo armónico, y así sucesivamente.
   
• A cada armónico n ( o también llamado onda estacionaria n) de la cuerda con extremos fijos, le corresponde una onda dada por la ecuación : . Y a la expresión se le denomina perfil del armónico.
   
• Como , se concluye que cuando la cuerda con extremos fijos vibra como una onda estacionaria (es decir, en un armónico), todas sus elementos (exceptuando los nodos) vibran con movimiento armónico simple pero con una amplitud que dependerá de la posición del elemento sobre la cuerda,, pero todos tienen igual frecuencia .
• Cada armónico tiene una longitud de onda y una frecuencia diferentes a los demás armónicos. Sin embargo, el producto de estas dos magnitudes debe ser constante para todos los armónicos,

A continuación se analizarán los primeros armónicos de esta cuerda sujeta por sus extremos.

En la figura, N significa nodo (elementos de la cuerda que no vibran) y V vientre (elementos de la cuerda que vibran con la máxima amplitud ). La relación de la columna 3 se obtiene observando las gráficas de la columna 2. La relación de frecuencia de la columna 4 se puede obtener a partir de la columna 3 sabiendo que .

Nº ARMóNICO	PERFIL DEL ARMóNICO	LONGITUDES DE ONDA CONTENIDAS EN L	FRECUENCIA
1
2
3
n

Mediante la observación de los perfiles de los armónicos se puede concluir que:

donde n son los números naturales, V la velocidad de propagación de las ondas viajeras transversales en la cuerda y L la longitud de la cuerda.

Resumiendo, si partimos de una cuerda tensa y elástica de longitud L sujeta por sus dos extremos (condición necesaria para que entre en vibración) y producimos una perturbación en su centro desplazándola de su posición de equilibrio, ésta tenderá a recuperar la posición de equilibrio mediante oscilaciones que perturbarán el aire generando ondas sonoras. Puesta en movimiento vibratorio una cuerda musical, las vibraciones se propagan a lo largo de la misma reflejándose en sus extremos, formando puntos donde la amplitud de las vibraciones es nula (nodos), mientras que se alcanzan otros puntos donde la amplitud de las vibraciones es máxima (vientres).

Las frecuencias de oscilación de la cuerda, son equivalentes a las frecuencias de las ondas producidas en el aire al perturbarse por el movimiento de las cuerdas, produciendo un sonido. El valor de las frecuencias producidas por una cuerda de longitud L, es (l = v/f):

donde T es la tensión a la que está sometida la cuerda, anteriormente llamada F, y m = S· r es la masa por unidad de longitud, siendo S el área de la sección de la cuerda y m su densidad lineal.

A partir de la ecuación anterior se pueden extraer varias conclusiones: se observa que si se varía la tensión T de la cuerda, manteniendo su longitud y su masa constante, se obtienen sucesivas series de armónicos, de forma análoga se obtienen manteniendo fija su tensión y su masa y variando su longitud. Así mismo, si se aumenta la tensión o se disminuye su longitud, la frecuencia aumenta. De forma análoga, para igualdad de longitud y tensión en la cuerda, las pesadas y gruesas producen sonidos más graves que las ligeras y delgadas.

Vibraciones producidas por la pulsación de una cuerda fija

 Cuando una cuerda fija por sus dos extremos es puesta en vibración mediante la pulsación de la misma, ésta adquiere lo hace a partir de varios de sus modos de resonancia naturales al mismo tiempo.

Las frecuencias de resonancia con las que vibrará dependerán del desplazamiento inicial provocado por la pulsación.

La animación de la izquierda ilustra la vibración de una cuerda pulsada a 1/3 de su longitud. Se pueden observar dos pulsos de onda desplazándose, uno en el sentido de la agujas del reloj, y el otro en el contrario. El tiempo de una propagación completa es un periodo. Si la cuerda vibra con una frecuencia fundamental de 440 Hz, este ciclo de vibración se repetirá 440 veces por segundo.

Por el Teorema de Fourier, podemos descomponer la vibración de la cuerda en sus diferentes armónicos.

El dibujo de abajo muestra la descomposición en los 6 primeros armónicos de la posición inicial de la cuerda al ser pulsada a 1/3 de su longitud.

Como se puede ver, están presentes los siguientes armónicos:

n=1, n=2, n=4, n=5

Los armónicos n=3 y n=6 no están presentes. Esto es debido a que los patrones de onda estacionaria poseen un nodo en el lugar donde se ha realizado la pulsación. De este modo, todos los modos de vibración múltiplos del tercero poseen un nodo en L/3 y no serán excitados.

 Se puede construir un "espectro de frecuencias" para la vibración de la cuerda pulsada del ejemplo determinando la amplitud de todos los modos presentes en la vibración.

La figura de la izquierda muestra este espectro para el ejemplo de la cuerda pulsada a 1/3 de su longitud. Notar que, como se ha explicado, todos los modos múltiplos de 3 no están presentes.

Modos de resonancia de la caja de un violín

El factor determinante a la hora de determinar el timbre de un instrumento de cuerda es, sin duda, el modo de resonar de la caja de resonancia, es decir, el modo en que atenuará o amplificará los armónicos generados por las cuerdas al ser excitadas.

A continuación podemos ver los modos de resonancia de una caja de violín, obtenidos mediante el Método de Chladni.